楊輝三角:楊輝三角形，又稱賈憲三角形，帕斯卡三角形，是二項式係數在三角形

名稱來源楊輝，字謙光，南宋時期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了如上所示的數表，稱之楊輝三角圖為“開方作法本源”圖。同時，這也是多項式(a+b)^n 打開括弧後的各個項的二次項係數的規律。 因此，楊輝三角第x層第y項直接就是（y nCr x）。我們也不難得到，第x層的所有項的總和為2^(x-1) (即(a+b)^x中a,b都為1的時候) 。上述y^x 指y的x次方，(a nCr b) 指組合數。 而這樣一個三角在我們的奧數競賽中也是經常用到，最簡單的就是要找規律。

簡介簡單的說，就是兩個未知數和的冪次方運算後的係數問題，比如（x+y）²=x²+2xy+y²，這樣係數就是1,2,1這就是楊輝三角的其中一行，立方，四次方，運算的結果看看各項的係數，你就明白其中的道理了。

這就是楊輝三角，也叫賈憲三角，在外國被稱為帕斯卡三角。他於我們現在的學習聯繫最緊密的是2項式乘方展開式的係數規律。如圖，在賈憲三角中，第3行的第三個數恰好對應著兩數和的平方公式（在此就不做說明了）依次下去。

性質楊輝三角最本質的特徵是，它的兩條斜邊都是由數字1組成的，而其餘的數則是等於它肩上的兩個數之和。

其實，中國古代數學家在數學的許多重要領域中處於遙遙領先的地位。中國古代數學史曾經有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發現就是十分精彩的一頁。楊輝，字謙光，北宋時期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了如上所示的三角形數表，稱之為“開方作法本源”圖。而這樣一個三角在我們的奧數競賽中也是經常用到，最簡單的就是叫你找規律。現在要求我們用編程的方法輸出這樣的數表。

規律這也是多項式(a+b)^n打開括弧後的各個項的二次項係數的律規 0(a+b)^0(0nCr0) 1(a+b)^1(1nCr0)(1nCr1) 2(a+b)^2(2nCr0)(2nCr1)(2nCr2) 3(a+b)^3(3nCr0)(3nCr1)(3nCr2)(3nCr3) ................ 因此楊輝三角第x層第y項直接就是（ynCrx） 我們也不難得到第x層的所有項的總和為2^x(即(a+b)^x中a,b都為1的時候) [上述y^x指y的x次方;(anCrb)指組合數] 其實，中國古代數學家在數學的許多重要領域中處於遙遙領先的地位。中國古代數學史曾經有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發現就是十分精彩的一頁。

數字表示楊輝三角是一個由數字排列成的三角形數表，一般形式如下： 1n=0 11n=1 121n=2 1331n=3 14641n=4 15101051n=5 1615201561n=6

與二項式定理的關係楊輝三角的第n行就是二項式展開式的係數列。 對稱性：楊輝三角中的數字左、右對稱，對稱軸是楊輝三角形底邊上的“高”。 結構特徵：楊輝三角除斜邊上1以外的各數，都等於它“肩上”的兩數之和。 這些數排列的形狀像等腰三角形，兩腰上的數都是1。 從右往左斜著看,從左往右斜著看，和前面的看法一樣，這個數列是左右對稱的。 上面兩個數之和就是下面的一行的數。 這行數是第幾行，就是第二個數加一。

實際操作運用範例這是“楊輝三角”的格式對於楊輝三角，很多國中生，甚至很多高中生只知道此三角中的某數等於它上排相鄰兩數之和，而忽視了楊輝三角的實際運用。 不難發現，除了上述特點外，楊輝三角還有另一個特點： 此數列中各行中的數字正好是二項式a+b乘方後，展開始終各項的係數。如： (a+b)^1=a^1+b^1 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 …… (a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6（注意發現規律） …… 如此一來，對於普通考試中所出現的高係數運算的展開運算，我們就不必因怕運算出錯而擔憂了。但這只是類似公式的技法，想要運算能力增強，還是一個一個拆著練吧。 另外，文章開頭提到的“賈憲三角”和“楊輝三角”是有區別的。只需將楊輝三角順時針鏇轉90度，便得到賈憲三角，如下： 11111111 7654321 211510631 35201041 351551 2161 71 1 這些數列，能有效地運用於解數字係數的高次方程。無論是在幾何、代數還是三角函式中，上述方法都能不同程度的提高解題效率。 [編輯本段]楊輝三角的前50行 第0行： 1 第1行： 11 第2行： 121 第3行： 1331 第4行： 14641 第5行： 15101051 第6行： 1615201561 第7行： 172135352171 第8行： 18285670562881 第9行： 193684126126843691 第10行： 1104512021025221012045101 第11行： 1115516533046246233016555111 第12行： 1126622049579292479249522066121 第13行： 11378286715128717161716128771528678131 第14行： 11491364100120023003343230032002100136491141 第15行： 11510545513653003500564356435500530031365455105151 第16行： 116120560182043688008114401287011440800843681820560120161 第17行： 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歷史發展北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算。

13世紀中國宋代數學家楊輝在《詳解九章算術》里討論這種形式的數表，並說明此表引自11世紀前半賈憲的《釋鎖算術》，並繪畫了“古法七乘方圖”。故此，楊輝三角又被稱為“賈憲三角”。

元朝數學家朱世傑在《四元玉鑒》（1303年）擴充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。

義大利人稱之為“塔塔利亞三角形”（TriangolodiTartaglia）以紀念在16世紀發現一元三次方程解的塔塔利亞。

在歐洲直到1623年以後，法國數學家帕斯卡在13歲時發現了“帕斯卡三角”。

布萊士·帕斯卡的著作Traitédutrianglearithmétique（1655年）介紹了這個三角形。帕斯卡蒐集了幾個關於它的結果，並以此解決一些機率論上的問題，影響面廣泛，PierreRaymonddeMontmort（1708年）和亞伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡來稱呼這個三角形。

近年來國外也逐漸承認這項成果屬於中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”（Chinesetriangle）

歷史上曾經獨立繪製過這種圖表的數學家

·賈憲中國北宋11世紀《釋鎖算術》·楊輝中國南宋1261《詳解九章算法》記載之功·朱世傑中國元代1299《四元玉鑒》級數求和公式·阿爾·卡西阿拉伯1427《算術的鑰匙》·阿皮亞納斯德國1527·米歇爾`斯蒂費爾德國1544《綜合算術》二項式展開式係數·薛貝爾法國1545·B·帕斯卡法國1654《論算術三角形》其實，中國古代數學家在數學的許多重要領域中處於遙遙領先的地位。中國古代數學史曾經有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發現就是十分精彩的一頁。

賈憲中國北宋11世紀《釋鎖算術》

賈憲最著名的數學成就，是他創製了一幅數字圖式，即“開方作法本源圖”（見下圖）。這幅圖現見於楊輝的書中，但楊輝在引用了這幅圖後特意說明：“賈憲用此術”。所以過去我國數學界把這幅圖稱為“楊輝三角”，實際上是不妥當的，應該稱為“賈憲三角”才最為恰當。由於史書沒有賈憲的傳記，幸虧南宋數學家楊輝在他的書中引述了賈憲的許多數學思想資料，才使我們今天得以了解賈憲在數學上的重大貢獻。

圖形·楊輝中國南宋1261《詳解九章算法》記載之功

·朱世傑中國元代1299《四元玉鑒》級數求和公式

·阿爾·卡西阿拉伯1427《算術的鑰匙》

·阿皮亞納斯德國1527

·施蒂費爾德國1544《綜合算術》二項式展開式係數

·薛貝爾法國1545

·B·帕斯卡法國1654《論算術三角形》

楊輝三角的三個基本性質主要是二項展開式的二項式係數即組合數的性質，它是研究楊輝三角其他規律的基礎。楊輝三角橫行的數字規律主要包括橫行各數之間的大小關係。組合關係以及不同橫行數字之間的聯繫。

C#輸出classProgram{publicvoidyanghui(intvalue){if(value<3){Console.WriteLine("請重新輸入數組大於3的值！");}else{int[,]arry=newint[value,value];Console.WriteLine("數組為：");for(inti=0;i

C語言輸出楊輝三角classProgram{publicvoidyanghui(intvalue){if(value<3){Console.WriteLine("請重新輸入數組大於3的值！");}else{int[,]arry=newint[value,value];Console.WriteLine("數組為：");for(inti=0;i

金字塔楊三角金字塔楊三角#includeintmain(){inta[10][10],i,j;for(i=0;i<10;i++){for(j=10;j>=i;j--)printf("%2c",'');/*兩個空格*/for(j=0;j<=i;j++){if(i==j||j==0)a[i][j]=1;elsea[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1][j-1];printf("%3d",a[i][j]);/*%3d後一個空格*/if(i==j)printf("\n");}}return0;}二維數組輸出前十行12#includeintmain(){inta[10][10],i,j;for(i=0;i<10;i++){a[i][i]=1;a[i][0]=1;}for(i=2;i<10;i++)for(j=1;j<=i-1;j++)a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];for(i=0;i<10;i++){for(j=0;j<=i;j++)printf("%6d",a[i][j]);printf("\n");}printf("\n");return0;}菱形楊三角#includeintmain(void){inti,j;inta[6][6];//該程式輸出為6層,可根據需要更改數組大小printf("\n\n\n");for(i=0;i<6;i++)for(j=0;j<=i;j++){if(j==0||j==i)a[i][j]=1;elsea[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];}for(i=0;i<6;i++){for(j=0;j<=6-i;j++)printf("%2c",'');for(j=0;j<=i;j++)printf("%4d",a[i][j]);printf("\n");}for(i=4;i>=0;i--){for(j=0;j<=6-i;j++)printf("%2c",'');for(j=0;j<=i;j++)printf("%4d",a[i][j]);printf("\n");}return0;}運行結果佇列輸出12#include#include#defineERROR0#defineOK1#defineOVERFLOW-1#defineMAX_QUEUE100typedefintDataType;typedefstruct{DataTypeelem[MAX_QUEUE];intfront;intrear;}LinkQueue;intInitQueue(LinkQueue*);voidEnQueue(LinkQueue*,DataType);voidDeQueue(LinkQueue*,DataType*);voidGetFront(LinkQueue,DataType*);intQueueEmpty(LinkQueue);voidYangHuiTriangle(int);intmain(void){intn=1;printf("pleaseenteranumber:");scanf("%d",&n);if(n<=0){printf("ERROR!\n");exit(0);}YangHuiTriangle(n);return0;}intInitQueue(LinkQueue*Q){Q->front=Q->rear=-1;return1;}voidEnQueue(LinkQueue*Q,DataTypee){if((Q->rear+1)%MAX_QUEUE==Q->front)exit(OVERFLOW);else{Q->rear=(Q->rear+1)%MAX_QUEUE;Q->elem[Q->rear]=e;}}voidDeQueue(LinkQueue*Q,DataType*e){if(QueueEmpty(*Q)){printf("queueisempty\n");exit(0);}else{Q->front=(Q->front+1)%MAX_QUEUE;*e=Q->elem[Q->front];}}voidGetFront(LinkQueueQ,DataType*e){if(QueueEmpty(Q)){printf("queueisempty\n");exit(0);}else*e=Q.elem[(Q.front+1)%MAX_QUEUE];}intQueueEmpty(LinkQueueQ){if(Q.front==Q.rear)return1;elsereturn0;}voidYangHuiTriangle(intn){LinkQueueQ;inti,j,k,t,s,e;InitQueue(&Q);for(i=0;i#definemaxn50constinty=2009;intmain(){intn,c[maxn][maxn],i,j,s=0;scanf("%d",&n);c[0][0]=1;for(i=1;i<=n;i++){c[i][0]=1;for(j=1;j

JAVA輸出楊輝三角代碼：

importjava.util.Scanner;publicclassTriangleYH{publicstaticvoidmain(String[]args){Scannersuin=newScanner(System.in);System.out.println("請輸入一個大於3的數：");intn=suin.nextInt()+1;//這裡如果不+1，那么輸出的結果少了一行，+1則全部輸出。intyh[][]=newint[n][n];if(n<3)System.out.println("輸入錯誤");for(inti=1;i

結果：

SQL輸出--返回某一數的階乘值createfunctionJi(@countint)returnsintasbegindeclare@uint,@indexintset@u=1--初使值為1set@index=1while(@index<=@count)beginset@u=@u*@indexset@index=@index+1endreturn(@u)endcreatefunctionVa(@numint,@countint)returnsintasbegindeclare@upint,@L1int,@R1int,@Iintset@up=dbo.Ji(@count)set@L1=dbo.Ji(@num)set@R1=dbo.Ji(@count-@num)set@I=@up/(@L1*@R1)return(@I)endcreatefunctionPrintRow(@numint)returnsnvarchar(100)asbegindeclare@iintdeclare@strnvarchar(100)set@str="";set@i=1while(@i<@num)beginset@str=@str+replace(str(dbo.Va(@i,@num)),'','')+','set@i=@i+1endreturn(@str)endcreateprocPrintJiCeng(@numint)asbegindeclare@iintset@i=1while(@i<=@num)beginif(@i=0)print1+','elseif(@i=1)print'1,1,'elseprint'1,'+dbo.PrintRow(@i)+'1,'set@i=@i+1endend--計算10以內的揚輝三角execPrintJiCeng10PHP輸出";}?>C++輸出直角三角形//單數組動態規劃輸出楊輝三角，以下截止第31行#includeusingnamespacestd;#defineMAXH31intmain(){inti,j;unsignedlongnum[MAXH]={0};num[0]=1;for(i=0;i0;j--){num[j]=num[j]+num[j-1];//A[i,j]=A[i,j-1]+A[i,j]cout<usingnamespacestd;intmain(){inth,i,j;cout<<"請輸入楊輝三角的高度："<>h;inta[10][10];for(i=0;i<10;i++){a[i][i]=1;a[i][0]=1;}for(i=2;i<10;i++)for(j=1;j<=i-1;j++)a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];for(i=0;i<=h;i++){for(j=0;j<=i;j++)cout<usingnamespacestd;intmain(){inti,j,h,a[10][10];cout<<"請輸入楊輝三角的高度："<>h;for(i=0;i<=h;i++){for(j=0;j<=i;j++){if(i==j||j==0)a[i][j]=1;elsea[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1][j-1];}}for(i=0;i<=h;i++){for(j=h;j>=i;j--)cout<<"";for(j=0;j<=i;j++){cout<usingnamespacestd;intcomputeTriangleElement(intlevel,intindex){if(index==1||index==level)return1;returncomputeTriangleElement(level-1,index-1)+computeTriangleElement(level-1,index);}voidyanghuiTriangle(intlevel){for(inti=1;i<=level;i++){for(intj=1;j<=i;j++){cout<>level;yanghuiTriangle(level);return0;}易語言輸出來自易語言自帶的例子。以下為全文。.版本2.程式集啟動視窗程式集.程式集變數帕斯卡三角階數,整數型,,,帕斯卡三角行數.程式集變數帕斯卡三角,文本型,,,形成的帕斯卡三角.子程式__啟動視窗_創建完畢'使用算法：遞歸調用'問題：求帕斯卡（楊輝）三角'問題描述：取N階的帕斯卡（楊輝）三角並顯示'問題分析：' 運用遞歸的方法取N層帕斯卡三角，並顯示。三角形邊界上的數都是1，內部的每個數是位於它上面的兩個數之和。' 三角形邊界上的數都是1，內部的每個數是位於它上面的兩個數之和。假設f(row,col)表示楊輝三角的第row行的第col個元素，那么：f(row,col)=1(col=1或者row=col)，也就是遞歸的停止條件。f(row,col)=f(row-1,col-1)+f(row-1,col)，也就是上一行的兩個相鄰元素的和。遞歸調用求解。'備註：.子程式_計算圖形按鈕_被單擊.局部變數行數,整數型,,,帕斯卡三角行數.局部變數列數,整數型,,,帕斯卡三角列數.局部變數詢問返回,整數型,,,信息框返回的結果編輯框2.內容=“”帕斯卡三角=“”'判斷輸入的值.判斷開始(編輯框1.內容=“”)信息框(“輸入錯誤!”,0,)'當數值過大時，給出提示.判斷(到數值(編輯框1.內容)>20)詢問返回=信息框(“您輸入的數值過大，處理數據時程式將會有一段時間無回響，是否繼續？”,#是否鈕+#詢問圖示,“請問：”).如果真(詢問返回=#是鈕)'如果確定，調用求帕斯卡三角求帕斯卡三角().如果真結束'數據較小時調用求帕斯卡三角.判斷(編輯框1.內容≠“”且到數值(編輯框1.內容)≤20)求帕斯卡三角().默認.判斷結束.子程式求帕斯卡三角.局部變數行數,整數型,,,帕斯卡三角行數.局部變數列數,整數型,,,帕斯卡三角列數'要求的帕斯卡三角的總行數帕斯卡三角階數=到數值(編輯框1.內容)－1.變數循環首(0,帕斯卡三角階數,1,行數).變數循環首(0,行數,1,列數)'取帕斯卡三角元素放到當前行里帕斯卡三角=帕斯卡三角+到文本(取帕斯卡三角元素(行數+1,列數+1))+“,”.變數循環尾()帕斯卡三角=取文本左邊(帕斯卡三角,取文本長度(帕斯卡三角)－1)+#換行符'沒層需去尾都好加換行符.變數循環尾()'顯示結果編輯框2.內容=帕斯卡三角.子程式取帕斯卡三角元素,整數型,,取帕斯卡三角中元素的子程式.參數行數,整數型,,帕斯卡三角行數.參數列數,整數型,,帕斯卡三角列數.如果(列數=1或行數=列數)'每行的外圍兩個元素為1返回(1).否則'其餘的部分為上一行的(行數-1)和(行數)元素之和返回(取帕斯卡三角元素(行數－1,列數－1)+取帕斯卡三角元素(行數－1,列數)).如果結束

PHP輸出";for($i=2;$i<=$ln;$i++){for($j=1;$j<=$i;$j++){if($j==1){echostr_pad(" ",($ln-$i)*12," ");}echo$arr[$i][$j]=$arr[$i-1][$j]+$arr[$i-1][$j-1];echo"  ";}echo"
";}}yhsj(3);?>盤點高中數學名詞 高中是大學的過渡階段，學好高中數學，才能為學好大學數學打好基礎，那我們盤點下高中數學中有哪些名詞吧。 和差化積基本不等式錯位相減法二項式分布公比組合樣本楊輝三角重要不等式映射分段函式定義域常態分配反函式空集定積分積分並集子集算法幾何畫板圓柱指數函式對稱軸排列數學歸納法單調性餘弦定理正弦定理雙曲線區間值域等差數列隨機變數導數等比數列機率冪函式數列對數函式 集合拋物線圓錐曲線立體幾何公差矩陣二次函式圓錐球圓斐波那契 不等式柯西不等式元素解析幾何向量函式三角函式